Certains mathématiciens résolvent un problème précis. D’autres changent la manière d’en résoudre toute une famille. À 38 ans, le Canadien Jacob Tsimerman se voit décerner la médaille Fields pour avoir profondément transformé l’un des outils les plus puissants de l’arithmétiques moderne : l’o-minimalité. Derrière ce terme mystérieux se cache un cadre qui permet de décrire des ensembles géométriques suffisamment réguliers pour que l’on puisse y compter des points ou contrôler leur complexité, là où les méthodes classiques échouaient. Cette approche, développée au début des années 2000 par Jonathan Pila, de l’université d’Oxford, et Umberto Zannier, de l’École normale supérieure de Pise, a été profondément enrichie par Jacob Tsimerman, qui en a fait un outil incontournable de la géométrie arithmétique moderne. Grâce à elle, il a contribué à démontrer plusieurs conjectures majeures, dont la conjecture d’André-Oort pour les variétés modulaires de Siegel et, plus récemment, la conjecture de Griffiths sur l’algébricité des images des applications de périodes.
Né en 1988 à Kazan, en Russie, Jacob Tsimerman émigre avec sa famille en Israël puis au Canada. Très tôt, son talent pour les mathématiques se révèle: à l’âge de 15 ans et 16 ans, il remporte deux médailles d’or aux Olympiades internationales de mathématiques pour le compte du Canada. Il prépare ensuite une thèse à l’université de Princeton, aux États-Unis, sous la direction de Peter Sarnak, spécialiste bien connu de théorie analytique des nombres. Depuis 2014, le lauréat est professeur à l’université de Toronto, au Canada.
Ses travaux portent sur la géométrie arithmétique, discipline qui cherche à résoudre des problèmes de théorie des nombres à l’aide de la géométrie. L’un de ses principaux domaines est la géométrie diophantienne, qui étudie les solutions entières ou rationnelles des équations algébriques. Plutôt que d’étudier directement ces solutions, les mathématiciens analysent les objets géométriques que les équations définissent, dont la forme révèle souvent des propriétés arithmétiques inattendues. Par exemple, l’équation x^2+y^2=1 décrit un cercle. On cherche alors à déterminer quelles sont ses solutions rationnelles des équations en exploitant les propriétés géométriques de la courbe. « Jacob est un mathématicien d’une grande polyvalence », résume Arul Shankar, professeur à l’université de Toronto et collaborateur de longue date. « Il a apporté des contributions fondamentales à la géométrie algébrique complexe, à la géométrie arithmétique, mais aussi aux statistiques arithmétiques et à d’autres domaines de la théorie des nombres. »
Une boîte à outils pour les grandes conjectures
La citation du comité Fields insiste moins sur un résultat isolé que sur une méthode. En combinant l’o-minimalité avec des idées venues de domaines très différents des mathématiques, Jacob Tsimerman et ses collaborateurs ont mis au point une nouvelle boîte à outils qui a permis de résoudre plusieurs problèmes considérés comme centraux. Parmi eux figure la conjecture d’André-Oort, considérée comme l’un des grands problèmes de la géométrie arithmétique moderne. Formulée dans les années 1990, elle cherche à comprendre comment se répartissent, au sein des variétés de Shimura – dont les variétés modulaires de Siegel constituent une famille importante –, certains points dits « spéciaux », associés à des objets présentant des symétries arithmétiques exceptionnelles. Les variétés de Shimura sont de vastes espaces de paramètres : chacun de leurs points représente un objet géométrique, et leur organisation reflète les liens profonds entre géométrie et théorie des nombres. Derrière cette question de répartition se cache un enjeu plus profond : déterminer jusqu’à quel point les propriétés arithmétiques de ces objets sont dictées par leur structure géométrique. Sa démonstration a nécessité de faire dialoguer la théorie des nombres, la géométrie et la logique mathématique.
Pour Emmanuel Ullmo, directeur de l’Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), à Bures-sur-Yvette, Jacob Tsimerman est « un résolveur de problèmes exceptionnel, capable de relier des théories très éloignées pour attaquer les questions les plus difficiles. Je ne vois personne de comparable à son âge dans le domaine de la géométrie diophantienne ».
Comprendre avant de démontrer
Ses collaborateurs évoquent surtout sa manière très particulière de faire des mathématiques. « Jacob est probablement la personne la plus rapide avec laquelle je n’ai jamais discuté de mathématiques », raconte Arul Shankar. « Il essaie des idées complètement folles, et parfois elles fonctionnent. » Les deux chercheurs ont signé de nombreux articles ensemble, au fil de séances de travail qui débutaient tard dans la soirée dans les bureaux du département de mathématiques de l’université de Toronto et se prolongeaient parfois jusqu’à trois ou quatre heures du matin. « Quand on pense avoir trouvé une idée importante, on veut savoir immédiatement si elle fonctionne vraiment », insiste Arul Shankar. Mais ce qui distingue le plus le lauréat, selon lui, est sa recherche obstinée de compréhension. « Il ne veut pas seulement savoir qu’une idée fonctionne. Il cherche à comprendre pourquoi elle fonctionne, jusqu’où elle peut être poussée, où elle cesse de fonctionner et ce qu’il faudrait pour dépasser cette limite. »
Cette quête de compréhension explique peut-être pourquoi la médaille Fields récompense aujourd’hui moins une démonstration spectaculaire qu’une manière de faire des mathématiques. « Il est difficile d’identifier un résultat unique qui justifierait à lui seul une médaille Fields », observe Emmanuel Ullmo. « En revanche, l’accumulation de contributions majeures obtenues ces dernières années fait de lui un candidat naturel pour cette distinction ». Les théorèmes auxquels il a contribué comptent déjà parmi les plus importants de la géométrie arithmétique contemporaine. Mais sa contribution la plus durable pourrait bien être d’avoir fourni à toute une génération de mathématiciens une nouvelle boîte à outils pour explorer les problèmes les plus difficiles de la discipline.
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Source:
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