Depuis le début de l’année 2025, le monde des mathématiques bruissait d’une même rumeur. Trois chercheurs venaient-ils enfin de franchir un obstacle que l’on croyait infranchissable depuis un demi-siècle ? Au fil des mois, les spécialistes se sont plongés dans une démonstration dense de plusieurs centaines de pages, dont chaque détail devait être minutieusement vérifié. Jeudi, cette attente a trouvé son épilogue : à 37 ans, le mathématicien chinois Yu Deng est devenu l’un des quatre nouveaux médaillés Fields. Le comité a ainsi récompensé un chercheur dont les travaux, à l’interface des équations aux dérivées partielles, des probabilités et de la physique mathématique, ont profondément renouvelé l’analyse de systèmes dynamiques complexes.
La distinction couronne notamment une démonstration réalisée avec le Libanais Zaher Hani et le jeune Chinois Xiao Ma, publiée dans deux articles (le deuxième article est sur le point d’être vérifié). Leur résultat établit rigoureusement comment le comportement collectif d’un gaz peut émerger des collisions entre milliards de particules assimilées à des sphères dures. Une question qui résistait depuis les travaux de l’américain Oscar Lanford (1940-2013) dans les années 1970. « C’est vraiment un résultat spectaculaire. On ne savait tout simplement pas comment faire », résume Isabelle Gallagher, professeure à l’Université Paris-Cité, qui fait partie des mathématiciens et mathématiciennes chargés de vérifier cette démonstration exceptionnelle.
Un chaînon longtemps manquant entre Newton et la mécanique des fluides
À première vue, la question paraît presque philosophique. Les lois de Newton décrivent le mouvement d’une particule individuelle. À l’autre extrémité de l’échelle, les équations de Navier-Stokes modélisent le comportement d’un fluide continu, tandis que l’équation de Boltzmann fait le lien statistique entre les deux descriptions.
Une partie du problème avait été levée en 1975 par le mathématicien américain Oscar Lanford. Il avait réussi à démontrer que l’équation de Boltzmann pouvait effectivement être déduite des lois de Newton… mais uniquement sur des temps très courts. En pratique, sa démonstration n’était valable que pendant une durée si brève que les particules n’avaient guère le temps de subir plus d’une collision. Au-delà, les recollisions multiples entre les mêmes particules rendaient les interactions bien trop complexes pour être contrôlées mathématiquement, et la preuve s’effondrait.
C’est précisément ce qu’est parvenu à faire Yu Deng avec ses collaborateurs : montrer que l’équation de Boltzmann découle bien des lois microscopiques gouvernant des particules assimilées à des billes en collision en temps long, puis refermer la chaîne jusqu’aux équations de Navier-Stokes. Ce résultat constitue l’une des avancées les plus importantes obtenues à ce jour dans le cadre du sixième problème de Hilbert, consacré aux fondements mathématiques de la physique.
Une montagne de combinatoire
Pour autant, Isabelle Gallagher invite à éviter une lecture trop triomphaliste. « Le problème est tellement vaste – en fait pas rédigé de manière très précise – qu’on ne saura probablement jamais s’il est entièrement résolu. Ce qu’ils démontrent rigoureusement, c’est la dérivation des équations de Navier-Stokes pour un gaz parfait constitué de sphères dures. »
L’originalité de la preuve ne réside pas dans une idée nouvelle, mais dans une sophistication technique rarement atteinte. L’idée consiste à suivre les gigantesques arbres de collisions – que les mathématiciens décrivent comme des arbres généalogiques reliant les particules au fil de leurs rencontres. Chaque collision engendre une explosion combinatoire de scénarios possibles qu’il faut découper, classer puis contrôler jusqu’à montrer que les configurations problématiques deviennent négligeables. « Ils parviennent à découper ces arbres en une dizaine de petits cas particuliers qu’ils ont identifiés au préalable. Ils les mettent complètement à plat, avec des boucles dans tous les sens, puis les nettoient jusqu’à ce que cela marche. Lorsqu’on voit la démonstration, c’est effrayant de complexité », estime la mathématicienne.
Pour Isabelle Gallagher, cette démonstration laisse néanmoins une forme de frustration intellectuelle. Si elle constitue un exploit mathématique indéniable – c’est un résultat auquel elle rêvait depuis longtemps –, elle n’apporte pas de compréhension nouvelle des mécanismes physiques à l’œuvre. « À aucun moment, ils ne font vraiment de la physique. Ils font essentiellement de la combinatoire sur des arbres, en oubliant presque complètement le côté particules », résume-t-elle. Elle aurait espéré voir émerger « un mécanisme physique nouveau, par exemple autour de la génération du chaos ou du rôle de l’entropie, mais ce n’est pas le cas. Physiquement, pour l’instant, on ne comprend pas mieux comment cela se passe ». En ce sens, conclut-elle, cette démonstration « clôt un chapitre sans changer notre manière de penser le problème ».
Après Boltzmann, de nouveaux défis
Paradoxalement, cette absence de révolution conceptuelle pourrait justement ouvrir une nouvelle période de recherche. « Maintenant que l’on sait que le résultat est vrai, c’est un verrou psychologique qui a sauté. On peut espérer ensuite qu’il viendra des preuves plus physiques, plus conceptuelles. » Autrement dit, la démonstration ne serait pas un aboutissement définitif mais un point de départ. Les générations suivantes pourront rechercher des preuves plus simples, plus élégantes et peut-être plus proches de l’intuition physique.
Pourquoi, Yu Deng plutôt que ses deux coauteurs ? D’abord parce que Zaher Hani, avec qui il collabore depuis de nombreuses années, a déjà dépassé la limite d’âge de 40 ans fixée par le règlement de la médaille Fields. Quant à Xiao Ma, encore au début de sa carrière, il aura d’autres occasions de briguer la prestigieuse distinction.
Par ailleurs, la médaille Fields ne récompense pas uniquement ce travail de Yu Deng. La citation officielle souligne l’ensemble de ses contributions aux équations aux dérivées partielles, à la théorie cinétique, aux équations de turbulence d’ondes et aux approches probabilistes des équations de Schrödinger non linéaires.
Désormais professeur à l’Université de Chicago, le lauréat continue de s’attaquer aux problèmes les plus redoutables de la physique mathématique. Une habitude chez ce spécialiste des démonstrations réputées impossibles, dont la médaille Fields ne marque sans doute pas l’aboutissement, mais une nouvelle étape.
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Source:
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