Contrairement à d’autres médaillés Fields souvent récompensés pour avoir résolu un problème emblématique, John Pardon est distingué pour une succession de percées dans plusieurs domaines de la géométrie et de la topologie. La citation officielle salue notamment ses travaux sur les cycles fondamentaux virtuels, les catégories de Fukaya, le comptage des courbes holomorphes, mais aussi ses contributions à la théorie des nœuds et des actions de groupes sur les variétés de dimension trois.
Le fil conducteur de ces travaux est la géométrie symplectique, discipline née de la mécanique classique. Elle étudie les espaces décrivant simultanément la position et la quantité de mouvement d’un objet. « C’est le langage naturel des espaces de phase utilisés en mécanique », explique Denis Auroux, professeur à l’université Harvard.
Découper les espaces pour mieux les comprendre
Parmi les contributions les plus marquantes de John Pardon figure un résultat obtenu avec Sheel Ganatra et Vivek Shende. Leur idée consiste à résoudre un problème qui semblait pourtant élémentaire : comment découper un espace géométrique extrêmement complexe afin de pouvoir l’étudier morceau par morceau sans perdre les propriétés essentielles de l’ensemble ? Pendant des années, les mathématiciens avaient tenté de réaliser ce découpage sans succès. Les morceaux ne se recollaient jamais correctement. « John Pardon a eu la bonne idée géométrique », résume Denis Auroux. « Avec ses collaborateurs, il introduit les secteurs de Liouville, une nouvelle manière de découper ces espaces qui permet enfin de les reconstruire à partir de leurs constituants élémentaires. À l’intérieur du domaine, c’est une révolution importante. Parfois, une discipline progresse moins grâce à des calculs gigantesques que parce qu’un chercheur finit par trouver la bonne façon de regarder le problème. »
Compter quand il semble impossible de compter
Le lauréat s’est également attaqué à une autre difficulté majeure : la géométrie énumérative, qui cherche à dénombrer des objets géométriques. Depuis le XIXᵉ siècle, les mathématiciens savent par exemple qu’une surface cubique générique (définie par un polynôme de degré 3) contient exactement 27 droites. Mais lorsque les configurations deviennent dégénérées – certaines courbes se confondent ou apparaissent sous des formes limites – les méthodes classiques aboutissent parfois à des réponses contradictoires, voire à des résultats qui ne sont plus des nombres entiers.
Une surface cubique lisse, avec ses 27 lignes. Crédits : Paul Masson, MIT
« Encore doctorant à Stanford, John Pardon a proposé une nouvelle approche des cycles fondamentaux virtuels, qui permet de définir rigoureusement ce qu’il faut compter dans ces situations délicates. La première réaction des spécialistes a été : ‘Ce n’est pas possible, il faudrait au moins 500 pages pour faire ça.’, » raconte Denis Auroux. Son article, d’une centaine de pages à l’origine, sera progressivement étoffé, mais il apporte surtout « une grande simplification conceptuelle dans un domaine devenu d’une extrême complexité », souligne le mathématicien.
Une carrière à grande vitesse
Cette capacité à identifier le cœur d’un problème se retrouve tout au long de son parcours. Étudiant à Princeton, John Pardon résout dès ses années de licence un problème posé par Mikhaïl Gromov (prix Abel 2009) sur la théorie des nœuds, ce qui lui vaut le prix Morgan en 2012. Au cours de sa thèse à Stanford, il démontre également le cas tridimensionnel de la conjecture de Hilbert-Smith, avant d’être recruté directement comme professeur à Princeton à 27 ans, sans passer par les traditionnels postes postdoctoraux.
« Ce qui fait les grands mathématiciens, c’est leur capacité à voir immédiatement quel est le point vraiment important d’un problème, note Denis Auroux. Ils ne se perdent pas dans les calculs de routine ; ils identifient tout de suite où se trouve la vraie difficulté. » Une qualité que beaucoup de ses collègues reconnaissent à John Pardon, dont plusieurs contributions majeures reposent moins sur des calculs monumentaux que sur une nouvelle manière de poser les problèmes.
Aujourd’hui chercheur au Simons Center for Geometry and Physics de l’université Stony Brook, près de New York, John Pardon poursuit ses recherches à l’interface entre géométrie, topologie et physique théorique. À 37 ans, il s’est déjà imposé comme l’un des grands noms de la géométrie symplectique contemporaine. Une discipline parmi les plus abstraites des mathématiques, mais dont les concepts irriguent aussi bien les fondements de la mécanique classique et quantique que certaines des théories les plus ambitieuses de la physique moderne.
Lire aussi les travaux des 3 autres lauréats :
Source:
www.sciencesetavenir.fr
