La démocratie selon Condorcet

Il y a trois grandes raisons qui expliquent l’intérêt de Condorcet pour les mathématiques électorales. Tout d’abord, il est mathématicien de formation : à 22 ans, il soumet à l’Académie des sciences un mémoire sur le calcul intégral, qui force l’admiration de Jean d’Alembert, devenu son protecteur. Condorcet est rapidement admis à l’Académie des sciences, comme membre puis secrétaire perpétuel. Ensuite, il est très attiré par la politique : à 31 ans, il travaille auprès de Turgot, alors contrôleur général des finances du roi Louis XVI, et ressent l’urgence de mettre de la vérité dans la politique, surtout après que ce dernier a été démis de ses fonctions – ce que Condorcet perçoit comme une injustice.

Enfin, l’idée d’appliquer les mathématiques à la politique est déjà dans l’air : d’une part, au XVIIe siècle, l’Anglais William Petty crée l’arithmétique politique (rationalisation de la politique par une quantification systématique) ; d’autre part, en 1770, le chevalier Jean-Charles de Borda prononce un discours, à l’Académie des Sciences, où il démontre mathématiquement certaines faiblesses de la règle de majorité, et propose deux nouvelles règles électorales fondées sur des raisonnements mathématiques, dont l’une est encore utilisée pour l’élection du Ballon d’or.

Un mode de scrutin vaut-il mieux qu’un autre ? Comment s’assurer de sa justesse ? Quelles sont ses limites ? Autant de questions posées par Condorcet et qui restent d’actualité.

Crédit : AUGUSTIN LE GALL/HAYTHAM-REA

Chaque juré est plus fiable qu’une pièce de monnaie tirée à pile ou face

Dans son Essai de 1785, le mathématicien propose deux concepts, demeurés très féconds : une règle électorale, nommée a posteriori la « méthode de Condorcet », et un résultat probabiliste sur la qualité des décisions prises à la majorité, que l’on appellera le « théorème du jury de Condorcet ». C’est de celui-ci, redécouvert dans les années 1970, que nous parlerons. Le théorème s’énonce ainsi : imaginons que chaque juré ait une probabilité de se tromper inférieure à 50 % (il est plus fiable qu’une pièce de monnaie qu’on tirerait à pile ou face !). Alors on peut montrer mathématiquement deux choses. Primo, la probabilité que la majorité du jury prenne la bonne décision est supérieure à 50 %.

Cet argument permet de justifier l’usage de la règle de majorité d’un point de vue épistémique. Secundo , plus le nombre de jurés augmente, plus la probabilité que l’ensemble du jury prenne la bonne décision augmente ; à tel point qu’avec un jury composé d’une infinité de jurés (un cas bien sûr purement théorique), on aurait la certitude absolue que la bonne décision soit prise. Ce raisonnement permet ainsi de justifier une ouverture du suffrage au plus grand nombre possible ; et met en lumière la démocratie comme un système qui produit de bonnes décisions grâce à l’usage du vote à la majorité.

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Pour lui, la démocratie n’est pas un système figé : elle est en évolution permanente et ne peut vivre que grâce à ses acteurs, les citoyens

Mais les hypothèses de tout résultat mathématique doivent être vérifiées pour qu’on puisse en déduire les conséquences. D’abord, la compétence des électeurs : ont-ils vraiment une probabilité de se tromper inférieure à 50 % ? Condorcet lui-même pensait que non.

Plus problématique : peut-on raisonnablement modéliser les électeurs comme des phénomènes aléatoires qui ont une probabilité de prendre telle ou telle décision ? Voter est une affaire de conviction : on ne vote pas au hasard mais de façon déterministe.

Enfin, que signifie « se tromper » dans une élection ? Dans le cadre d’un jury de procès, où l’on doit déterminer la culpabilité ou l’innocence d’un accusé, soit ; mais pour une élection, qui oserait dire que tel candidat est une « erreur » objective et que tel autre est « la bonne option » : c’est évidemment une affaire de convictions personnelles. Il existe, certes, des vérités factuelles, mais elles n’impliquent pas l’existence d’une vérité politique. Ce qui n’implique pas pour autant de tomber dans un relativisme total.

Ainsi, de nombreux mathématiciens et penseurs du XIXe siècle se sont opposés à la modélisation de Condorcet, parfois de façon virulente comme le philosophe britannique John Stuart Mill ou l’académicien français Joseph Bertrand. De fait, ce résultat n’a aucun sens en théorie politique, ce qui n’empêche qu’il est aujourd’hui le pilier de la théorie épistémique de la démocratie, un courant né sous l’impulsion de l’Américain Joshua Cohen, en 1986, et particulièrement important depuis les années 2000. L’idée initiale était d’ailleurs de s’opposer à un autre résultat mathématique qui tendait à montrer l’irrationalité de la démocratie (lire l’encadré ci-dessous). Il est indéniable que la quantification est un outil important pour comprendre et gouverner une société.

Les mathématiques s’affrontent sur la démocratie.

Le succès du « théorème du jury » provient de l’état de la recherche dans les années 1970 : William Riker, politologue très influent, avait popularisé auprès des théoriciens politiques un autre résultat mathématique, le « théorème d’impossibilité d’Arrow ».Au début des années 1950, l’Américain Kenneth Arrow, prix Nobel d’économie en 1972, avait montré que toute règle de vote pouvait aboutir à un cycle majoritaire : une majorité de gens préfère A à B, une autre majorité préfère B à C, une autre préfère C à A. Ainsi, A > B > C > A. Le résultat de cette intransitivité de la préférence collective ? Il est impossible de savoir qui est véritablement préféré. D’où l’on a déduit que l’irrationalité plane sur la démocratie, telle une épée de Damoclès.Ce théorème n’est pourtant pas interprétable comme tel : il n’y a rien d’irrationnel à préférer les pommes aux poires pour leur goût, les poires aux oranges pour leur texture et les oranges aux pommes pour leurs vitamines. On a donc pomme > poire > orange > pomme sans être irrationnel. Dans un brouillon non publié, Condorcet avait d’ailleurs établi un contre-exemple de ce type. Ainsi, deux arguments mathématiques ont influencé une grande partie de la théorie politique contemporaine, tous deux issus de l’Essai de 1785, même si la pensée politique de Condorcet était bien plus subtile..

Néanmoins, en gouvernant des indicateurs statistiques, on ne gouverne pas un pays composé d’êtres humains et on oublie l’essentiel de ce que devrait être la politique. De la même manière, si on réduit la démocratie au vote, on perdra beaucoup de choses sur ce qu’est, ou pourrait être, la démocratie. Or, c’est quelque peu l’excès commis par une partie de la recherche en théorie politique : avoir concentré tous ses efforts sur le vote, quitte à négliger le reste. Pourtant, Joshua Cohen, le fondateur du courant épistémique de la démocratie, avait bien alerté dès 1986 : une défense de la démocratie fondée essentiellement sur la procédure de vote ne peut mener nulle part

Nicolas de Condorcet (1743-1794), mathématicien, philosophe et homme politique, est une figure intellectuelle marquante des Lumières.

Crédit : TALLANDIER / BRIDGEMAN IMAGES

Cela reflète pourtant ce que nous concevons en général : pour le commun des mortels, la démocratie se réduit à aller voter – ou pas, d’ailleurs -une fois de temps en temps. En 1939, face à la montée des populismes et des totalitarismes, le philosophe américain John Dewey notait : « Nous avons agi comme si la démocratie était quelque chose qui avait lieu principalement à Washington […] sous l’impulsion de ce qui s’est passé lorsque des hommes et des femmes se rendaient aux urnes environ une fois par an […]. Ces dernières années, nous avons entendu de plus en plus fréquemment que cela ne suffisait pas ; que la démocratie est un mode de vie. « 

Une leçon qu’on pourrait marteler encore aujourd’hui. De fait, si l’on en revient à la fondation de l’Athènes démocratique par les réformes de Clisthène (vers 508 avant notre ère), l’ADN de la démocratie est que des gens n’ayant aucune raison de se rencontrer soient incités à se parler, à discuter de politique, c’est-à-dire du chemin qu’ils peuvent construire ensemble.

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Une reformulation du théorème prenant en compte l’intérêt collectif

Alors, le théorème du jury de Condorcet n’a-t-il aucun intérêt pour nous ? Au contraire ! Reprenons la pensée politique de Condorcet, en particulier lorsqu’il est lui-même engagé en politique (il est député de 1792 à sa mort en 1794). Pour lui, la démocratie n’est pas un système figé dans lequel il suffit de voter : elle est en évolution permanente et ne peut vivre que grâce à ses acteurs, les citoyens, qui se forment à être citoyens tout au long de leur vie en discutant, en se fréquentant et en se comprenant mutuellement. Cela n’implique pas pour autant d’être d’accord avec les autres, mais de s’ouvrir à leur point de vue.

On peut alors transformer le théorème du jury en ce que l’on pourrait qualifier de propriété de l’intérêt collectif de Condorcet : plus les électeurs voteront en pensant aux autres, plus il est probable que le résultat servira un intérêt collectif. Cette reformulation, plus cohérente avec la pensée politique du Marquis, est une propriété mathématique compatible avec la démocratie et révélatrice de son bon fonctionnement.

Le vote n’est alors plus qu’un petit point de la démocratie, qui s’inscrit dans une réflexion non seulement personnelle mais surtout et essentiellement collective. Car on ne naît pas citoyen ou citoyenne : on le devient en s’ouvrant à un collectif, qu’on l’aime ou non. La démocratie ne peut être fondée sur l’imaginaire d’un individu seul au monde, mais bien sur des citoyens vivant parmi leurs concitoyens. En reprenant une expression, tirée des Épîtres à la Princesse, de Léopold Sédar Senghor, on pourrait la qualifier de démocratie « au fil de l’Autre « .

Par Antoine Houlou-Garcia , docteur en études politiques et essayiste a publié Le Théorème du jury de Condorcet. Les mathématiques au service de la démocratie ? (Les Belles Lettres, 2026).